多端口矢量网络分析仪校准：通用公式化

摘要

本文提出了一种多端口网络分析仪（MNWA）的通用校准理论。该理论通过开发一种通用算法，利用MNWA自校准中固有的冗余性。文中分析了使用单端口或双端口标准件对MNWA进行校准的线性依赖条件，并推导出新的多端口自校准判据。理论与实验均证明，一个n端口测试集仅需一个双端口标准件和一个负载即可完成校准。该新理论为MNWA的n端口器件测试开辟了新的计量学替代方案。

1. 引言

• 多端口网络分析仪校准是研究热点，已有工作将2端口校准算法扩展到n端口。
• 文献[3]、[4]提出了通过短-延时（TSD）技术将通道间泄漏误差纳入考虑的通用n端口测试集。
• 文献[5]基于部分双端口测量组合来补偿其他端口的失配误差，但当设备有超过三个端口时，该方法因需要大量测量而难以实现。
• 近期，作者等人引入了一种真正的多端口测试硬件及相应的校准技术，该技术可商用化地使用一个或两个端口标准件[1]。该论文中，针对标准连接，采用迭代程序，但未考虑通过冗余减少n端口系统测量次数的潜力。
• 本文在文献[6]的基础上，进一步推广了该概念，引入了一个通用方程，将散射参数与未知设备及其对应测量值关联起来，从而形成一套误差系数的集合。

2. 多端口嵌入式公式

• 实际的MNWA可通过一个适当的开关修正过程进行校准，该过程可视为无误差的NWA，它测量的是原始散射矩阵S_m和一组n个2端口标准件用于校准MNWA，即误差箱，这些误差箱将理想的NWA与被测器件（DUT）联系起来，如图1所示。
• 每个误差箱由一个伪散射矩阵E_i定义，其中i = 1, ..., n。
• 在多端口系统中，误差系数成为四个对角矩阵Γ_ij的元素：
  • Γ_00 = diag(e_1^00, ..., e_n^00)
  • Γ_01 = diag(e_1^01, ..., e_n^01)
  • Γ_10 = diag(e_1^10, ..., e_n^10)
  • Γ_11 = diag(e_1^11, ..., e_n^11)
• 经过一些矩阵代数运算，得到 S_m = Γ_00 + Γ_01[I - SΓ_11]^-1 SΓ_10。
• 方程(3)可以写成形式：Γ_01^-1(S_m - Γ_00)Γ_10^-1 = (I - SΓ_11)^-1 S。
• 或者：Γ_01^-1 S_m Γ_10^-1 - SΓ_11 Γ_01^-1 S_m Γ_10^-1 - Γ_01^-1 Γ_00 Γ_10^-1 + SΓ_11 Γ_01^-1 Γ_00 Γ_10^-1 = S。
• 引入 Δ = Γ_00 Γ_11 - Γ_01 Γ_10，我们注意到Δ也是一个对角矩阵；在后续每个对角线元素中，其对角线元素被标注为Δ_i (i = 1...n)。
• 重新排列(5)得到：Γ_01^-1 S_m Γ_10^-1 - SΓ_11 Γ_01^-1 S_m Γ_10^-1 - Γ_01^-1 Γ_00 Γ_10^-1 + SΓ_11 Γ_01^-1 Γ_00 Γ_10^-1 = 0。
• 定义对角矩阵K为 K = e_1^01 Γ_01^-1。
• 方程(7)变为：KΓ_00 + SKΓ_11 S_m - SKΔ - KS_m = 0。
• 嵌入式方程在上述符号下为：S = K(S_m - Γ_00)(Γ_11 S_m - Δ)^-1 K^-1。
• 校准的目标是计算K, Γ_00, Γ_11, 和Δ，从一组合适的标准网络测量中得出。
• 矩阵方程(9)也可以看作是n²个方程的形式：δ_ij k_i e_j^00 + Σ_q=1^n S_iq k_q e_q^11 S_mqj - S_ij k_j Δ_j - k_i S_mij = 0 (i = 1,...,n; j = 1,...,n)，其中δ_ij是克罗内克符号（δ_ij = 1 if i=j, otherwise δ_ij = 0），k_i = (K)_ii = e_i^01 / e_i^01 (i = 1,...,n)。方程(11)是一个通用关系式，它将误差系数、标准或DUT参数S_ij与其对应的测量值S_mij联系起来。此方程可应用于每个标准或DUT。

3. 校准的一般理论

• 矩阵方程(9)也可被视为n²个方程的形式。
• 由于k_i = e_i^01 / e_i^01 是不同误差箱中各误差系数的函数，且一般情况下e_i^01 ≠ e_i^10，因此仅通过反射测量无法获得有用的k_i系数信息。
• 此陈述可以通过取方程(11)在一般单端口情况下的例子来证明，即一个端口标准件连接在端口p上：k_p e_p^00 + Γ_k p e_p^11 Γ_m - Γ_k p Δ_p - k_p Γ_m = 0。
• 其中项k_p可以立即简化。由于(n-1)个k_i系数中存在(4n-1)个误差系数，那么仅用单端口标准件就能提供至少3n个线性独立方程。
• 本节讨论了如何确定在所有可能方式下连接到MNWA时，由单端口和双端口标准件提供的独立方程数量。

4. 一致校准的条件

• 标准的选择和相对连接方式决定了校准MNWA所需的条件（n ≥ 3）。
• 我们将考虑的标准仅限于一个或两个端口，因为它们是商业上可用的。
• 任务是确定：当单端口和双端口标准件以所有可能的方式连接到MNWA时，能提供多少个独立方程？
• A. 单端口标准件组合
  • 我们考虑不同的单端口标准件，它们交替连接到每个测试端口。每个单端口标准连接提供一个独立方程，但一个单端口标准件的最大独立方程数为3n，无论连接了多少个端口。
  • 由于误差系数k_i = e_i^01 / e_i^01 是不同误差箱中各误差系数的函数，且一般情况下e_i^01 ≠ e_i^10，因此仅通过反射测量无法获得有用的k_i系数信息。
  • 此陈述可以通过取方程(11)在一般单端口情况下的例子来证明，即一个端口标准件连接在端口p上：k_p e_p^00 + Γ_k p e_p^11 Γ_m - Γ_k p Δ_p - k_p Γ_m = 0。
  • 其中项k_p可以立即简化。由于(n-1)个k_i系数中存在(4n-1)个误差系数，那么仅用单端口标准件就能提供至少3n个线性独立方程。
• B. 单端口和双端口标准件的组合
  • 当使用单端口和双端口标准件的组合时，问题会受到一些额外约束。
  • 一般有两个实际常见的场景：
    1. 我们不需要解决连接器极性问题，因此每个端口都不能连接到所有其他端口，而是同一个双端口标准件。
    2. 我们确实有连接器极性问题，且标准件不能反向连接或无法连接所有端口对。
  • 在接下来的内容中，我们将证明：一个单端口标准件与一个双端口标准件结合足以解决案例1的问题，但至少需要两个单端口标准件与一个双端口标准件结合才能解决案例2的问题。
  • 如果存在连接器极性问题（案例2），则至少有(n-1)个可能的连接方式，这将给出4n-4个方程。
  • 下面将证明以下通用准则：
    • 准则A：如果(4n-4)个线性独立方程由一个双端口标准件提供，至少需要两个不同的单端口标准件正确连接，以提供剩余的三个方程并求解校准问题。
  • 我们首先将问题简化为3端口情况。一个未校准的3端口MNWA是第一个案例，其中单个双端口标准件可以提供更多的方程，远超误差系数的数量。
  • 考虑一个已校准的3端口系统，其维度由矩阵N的列定义，该矩阵N的子空间维度为(12-1+4)，因为N中有4个未知数，所以增加的独立方程数也增加了4个。然而，随着端口数的增加，测试集复杂度的增加速度比端口数的增加更快。
  • 为了证明准则A，我们标记三个通用端口i, j, k，并假设以下组合：
    • 一个双端口标准件首先连接在端口i和j之间，然后连接在端口i和k之间（4n-4=8个方程）。
    • 一个单端口标准件连接在端口j和k之间（2个方程）。
    • 一个不同的单端口标准件连接在端口i上（1个方程）。
  • 这组测量提供的独立方程数为11，而不是11，如后文所述。

5. 实验结果

• 实验结果是在图2所示的3端口测试装置上获得的，该装置使用了7mm连接器和柔性臂，允许在端口之间轻松连接。这种灵活的环境使得使用3个thru作为双端口标准件成为可能，这些标准件提供了10个线性独立方程。
• 通常，滑动负载程序应用于端口1，给出了直接性项E_D的端口1反射计数器，因此其余方程变为 e_1^00 = E_D。
• 校准程序总结如下：
  1. 在端口1处施加滑动负载
  2. 在端口1和2之间进行thru连接
  3. 在端口1和3之间进行thru连接
  4. 在端口2和3之间进行thru连接
• 由于三个端口标准件不可用，3端口测试集通过准确验证7mm同轴电缆的性能得到了验证，该验证使用了一个单端口标准件和一个双端口标准件。
• 图3显示了20cm空气线的S参数（20.35cm标称长度）以及传输S参数（20.35cm标称长度）。
• 图4显示了30dB标准衰减器在端口1和3之间的传输S参数。

6. 结论

• 提出了MNWA校准问题的通用公式化，该公式提供了一个统一的数学方法，并定义了一些校准一致性的一般准则。
• 该理论的一个应用是定义所需标准的最小数量，并展示了仅使用一个双端口标准件和一个滑动负载即可实现n端口测试集校准的可能性。
• 通过在3端口测试集上获得的实验结果验证了该校准的精度。

附录 A

• 由单个双端口标准件在所有可能的连接方式下产生的独立方程数l，在3端口MNWA中推导如下。
• 为便于数学简化，将一个thru用作双端口标准件。每个thru连接（1-2, 1-3, 2-3）提供一个类似于(24)的方程。
• 通过求解(43)和(44)中的e2和e3，并将其代入(45)，我们得到(C_11 A_11^-1 A_11 + C_12 B_12^-1 B_11) e1 = C_11 A_12^-1 t_B + C_12 B_12^-1 t_B。
• 方程(46)是一个包含四个方程和三个未知数（e1元素）的线性系统。
• 4个独立方程来自每个矩阵方程(43)和(44)。但(47)的解为 [e1^11; Δ1; e1^00] = [1; (a S_m11^A - b S_m11^B + S_m12^A)/(a-b); (a S_m11^A - b S_m11^B + S_m12^A)/(a-b)]。
• 这是一个不一致的解，因为两个误差系数相等且端口1的源匹配（即e1^11）是单位的，这是物理上不可能的。因此，由所有连接方式得到的独立方程必须少于11个。如果我们从(47)中移除一个测量值（例如，端口1上的负载Γ），那么由这三个可能的连接方式加上一个额外的负载测量方程得到的独立方程数为11。
• 因此 l = 10。